Les oscillations

Approche mathématique

On dit qu'un point matériel est animé d'un mouvement oscillatoire lorsqu'il décrit indéfiniment un même segment de droite ou un même arc de courbe, en allant d'une extrémité à l'autre; et en reproduisant périodiquement les mêmes circonstances de mouvement. Cela revient à dire que la position du point sur sa trajectoire doit être définie par une fonction périodique du temps. Le cas le plus simple est celui où le chemin parcouru est proportionnel au sinus d'une fonction linéaire du temps on dit alors que les oscillations sont pendulaires. Soit s le chemin parcouru à partir d'une origine fixe. Dans le cas des oscillations pendulaires, on peut écrire s = A.sin (2.t/T +

Dans le cas général, la fonction périodique qui représente le déplacement peut, en vertu d'un théorème dû à Fourier, être représentée par une série de termes dont chacun est de la forme :

n étant un nombre entier quelconque, et A_n, f_n désignant des constantes. Le mouvement, quelle que soit sa complexité, est ainsi décomposé en une infinité de mouvements pendulaires ayant pour période T et de sous-multiples de T.

Si l'on projette sur une direction quelconque un mouvement oscillatoire, la projection décrit une oscillation de même période. En projetant sur trois axes rectangulaires concourants, on obtient trois mouvements oscillatoires dont la composition reproduit le mouvement primitif. Mais il faut remarquer que la composition de plusieurs mouvements oscillatoires rectilignes ne conduit pas nécessairement à un mouvement oscillatoire proprement dit. Si, par exemple, on compose dans un plan les deux mouvements x = sin t, y = cos t, effectués suivant deux axes rectangulaires, le mouvement résultant est une rotation continue et uniforme, effectuée sur un cercle de rayon égal à l'unité. (L. Lecornu).

Qualité des oscillations

Oscillations non-linéaires.
Lorsque la proportionnalité n'est plus respectée, le système devient non-linéaire. Dans ce cas, l'équation de mouvement comporte des termes d'ordre supérieur, et le comportement peut être beaucoup plus complexe. Les oscillations non-linéaires peuvent présenter une dépendance de la fréquence avec l'amplitude, des déformations de la forme d'onde, l'apparition d'harmoniques ou même des régimes chaotiques. On observe des oscillations non-linéaires dans les systèmes mécaniques présentant des forces de rappel non proportionnelles au déplacement, comme dans le cas d'un pendule simple à grande amplitude : la période dépend alors de l'amplitude, contrairement à l'approximation linéaire. En électronique, les circuits contenant des diodes ou des transistors peuvent présenter des oscillations non linéaires, souvent exploitées pour générer des signaux complexes. Dans les systèmes mécaniques, une poutre fortement courbée ou un ressort soumis à de grandes déformations illustre ce comportement, avec l'apparition d'harmoniques dans la réponse.

Oscillations amorties.
Les oscillations amorties se produisent lorsqu'il existe des pertes d'énergie dans le système, sous forme de frottements mécaniques, de résistance électrique ou de rayonnement. Dans ce cas, l'amplitude décroît au cours du temps et l'oscillation finit par disparaître si aucune source d'énergie ne vient compenser les pertes. L'amortissement peut être faible, auquel cas le système oscille longtemps avant de s'arrêter, ou fort, ce qui conduit à un retour à l'équilibre sans véritable oscillation. Un exemple quotidien est celui d'un pendule réel qui finit toujours par s'arrêter à cause des frottements de l'air et des pertes dans le pivot. En électricité, un circuit RLC soumis à la résistance subit un amortissement qui réduit progressivement l'amplitude des oscillations. En acoustique, un diapason frappé cesse de vibrer après quelques secondes, car l'énergie est dissipée dans l'air et dans le métal lui-même.

Oscillateurs et phénomènes oscillatoires

Oscillations mécaniques.
Les oscillations mécaniques sont des mouvements périodiques d'un système mécanique autour d'une position d'équilibre. Le mécanisme est le suivant : une perturbation initiale stocke de l'énergie dans le système (énergie potentielle élastique ou gravitationnelle). La force de rappel ramène le système vers sa position d'équilibre, convertissant cette énergie potentielle en énergie cinétique. Par inertie, le système dépasse la position d'équilibre et le processus s'inverse, conduisant à un échange continu entre les différentes formes d'énergie. La présence ou l'absence de frottement détermine si l'oscillation se poursuit indéfiniment, s'amortit ou nécessite une excitation externe.

La fréquence propre f0 est une caractéristique fondamentale d'un oscillateur mécanique. Elle représente la fréquence naturelle à laquelle le système oscillerait s'il était écarté de sa position d'équilibre puis abandonné à lui-même, en l'absence de tout amortissement et sans force extérieure appliquée. C'est une propriété intrinsèque du système, qui ne dépend que de ses caractéristiques physiques. La fréquence propre est directement liée à la période propre T0​, qui est la durée d'une oscillation libre et non amortie : T0 = 1/f0

Pendule simple.
Un pendule simple est constitué d'une masse accrochée à un fil inextensible. Lorsqu'on l'écarte de sa position verticale d'équilibre, c'est la composante du poids tangentielle à la trajectoire qui joue le rôle de force de rappel. Cette force est proportionnelle au sinus de l'angle d'écart, ce qui signifie que pour de petits angles, le mouvement est approximativement harmonique. La fréquence d'oscillation dépend alors principalement de la longueur du fil et de l'intensité de la pesanteur. Pour un pendule simple de longueur l dans un champ de pesanteur g, la fréquence propre (pour de petites oscillations) est :

Ponts et gratte-ciel.
Les ponts et les gratte-ciel sont des exemples à grande échelle. Sous l'action du vent, comme la perte de vortex (vortex shedding), ou d'un séisme, ces structures peuvent se mettre à osciller. Leur élasticité leur confère une force de rappel interne, similaire à un ressort géant. Leurs oscillations sont généralement amorties par des dispositifs spécifiques comme les amortisseurs à masse accordée, qui dissipent l'énergie pour éviter les phénomènes de résonance destructeurs.

Atomes et molécules.
Les atomes dans une molécule ne sont pas rigides mais sont liés par des "ressorts" électriques. Ils vibrent autour de leurs positions d'équilibre. Ces oscillations sont quantifiées, mais leur modèle classique les décrit comme des oscillateurs harmoniques où la force de rappel est due aux liaisons chimiques. L'étude de ces vibrations est fondamentale en spectroscopie.

Oscillations électriques.
Les oscillations électriques apparaissent lorsque l'énergie circule de manière périodique entre deux formes différentes dans un circuit, typiquement entre le champ électrique d'un condensateur et le champ magnétique d'une bobine. Ces oscillations électriques constituent la base de nombreux dispositifs, comme les circuits résonants utilisés dans les radios, les filtres électroniques ou encore les horloges à quartz.

Circuit LC.
Dans un circuit LC idéal (sans résistance), un condensateur chargé contient de l'énergie sous forme de champ électrique. Lorsqu'il est connecté à une bobine, le condensateur se décharge et le courant croissant crée un champ magnétique dans la bobine. À mesure que le condensateur se vide complètement, l'énergie se trouve totalement stockée dans la bobine. Mais le courant ne s'arrête pas instantanément : il continue et recharge le condensateur en sens inverse. Ce mécanisme provoque un échange continu d'énergie entre le condensateur et la bobine, donnant lieu à des oscillations électriques périodiques analogues à celles d'un oscillateur mécanique. La fréquence propre de ces oscillations dépend de l'inductance L et de la capacité 
C, avec

Circuit RLC.
Dans un circuit RLC, une résistance est ajoutée. Celle-ci introduit des pertes d'énergie par effet Joule, ce qui modifie le comportement des oscillations. L'énergie totale du système décroît au cours du temps, et l'amplitude des oscillations diminue progressivement. On parle alors d'oscillations amorties. Selon la valeur de la résistance, on distingue trois régimes :

• Sous-amorti. - La résistance est faible, les oscillations persistent mais leur amplitude décroît exponentiellement.

• Critiquement amorti. - La résistance a une valeur limite où le système revient à l'équilibre le plus rapidement possible sans osciller.

• Sur-amorti. - La résistance est forte, le système retourne à l'équilibre lentement sans oscillation.

Origines physiques des oscillations.
En thermodynamique classique, un système à l'équilibre ne présente pas d'oscillations spontanées, car les variables d'état (pression, température, volume) sont constantes. Cependant, dans des conditions hors équilibre, des instabilités peuvent apparaître, conduisant à des comportements oscillatoires. Ces instabilités résultent habituellement de :

• Rétroactions non linéaires. - Par exemple, dans une réaction chimique auto-catalytique, la production d'un composé peut accélérer sa propre synthèse, créant un cycle d'auto-amplification et de rétroaction négative.

• Couplages entre processus. - Les oscillations peuvent émerger lorsque deux phénomènes (comme la diffusion et la réaction chimique) interagissent de manière compétitive, comme dans les systèmes de type Brusselator ou Oregonator.

• Effets thermocinétiques. - Dans certains systèmes, la dissipation thermique peut conduire à des oscillations de température, comme dans les moteurs thermiques oscillants ou les instabilités de Rayleigh-Bénard (La mécanique des fluides).

• Réaction de Bélousov–Zhabotinsky (BZ). - La réaction BZ est un exemple emblématique de réaction chimique oscillante, où les concentrations de réactifs et produits varient périodiquement dans le temps. Elle met en évidence des phénomènes d'auto-organisation chimique, comme les motifs spatio-temporels (ondes, spirales). Modélisée par des équations différentielles non-linéaires, elle illustre le rôle des boucles de rétroaction et des instabilités dynamiques.

Modèles théoriques (Brusselator et Oregonator). - Le Brusselator est un modèle mathématique hypothétique conçu par Ilya Prigogine et René Lefever. Il illustre comment un système simple non-linéaire peut générer des oscillations auto-entretenues. L'Oregonator est une version réduite et réaliste du mécanisme de Field-Kőrös-Noyes qui décrit la réaction BZ. C'est un modèle à 3 équations différentielles couplées reproduisant le comportement oscillant. Ces modèles sont utilisés pour étudier la stabilité, les bifurcations et le passage du régime stationnaire à l'oscillation.

• Systèmes à changement de phase (caloducs). - Les caloducs utilisent l'évaporation et la condensation pour transporter efficacement la chaleur. Lors de certains régimes transitoires, des oscillations thermiques apparaissent (pression-vapeur, débit, température). Ces phénomènes sont critiques pour la stabilité et le contrôle thermique dans l'ingénierie aérospatiale et énergétique.

• Instabilités thermoacoustiques et thermo-oscillateurs. - Dans une flamme confinée, les fluctuations de libération de chaleur peuvent synchroniser avec les ondes acoustiques → génération d'instabilités thermoacoustiques. Ces instabilités conduisent à des oscillations de pression potentiellement destructrices (dans turbines, moteurs, brûleurs). Les thermo-oscillateurs et certains échangeurs de chaleur oscillants exploitent ou subissent ces couplages entre flux thermique et ondes acoustiques.

Oscillations des neutrinos.
Un exemple emblématique est celui des oscillations de neutrinos, où un neutrino produit dans une saveur donnée (électronique, muonique ou tauique) évolue vers une superposition de saveurs au cours de sa propagation, en raison du mélange entre états de masse et états de saveur. Ce phénomène met en évidence que les neutrinos ont une masse non nulle et que les états propres de masse ne coïncident pas avec les états propres de saveur.

Oscillations de Rabi.
Un autre cas fondamental est celui des oscillations de Rabi, qui se produisent dans un système à deux niveaux (comme un spin 1/2 ou un atome à deux états) soumis à une perturbation périodique, telle qu'un champ électromagnétique résonant. L'amplitude de probabilité de trouver le système dans l'état excité ou l'état fondamental oscille à une fréquence caractéristique, dite fréquence de Rabi, proportionnelle à l'intensité du couplage entre les états. Ces oscillations illustrent l'échange réversible d'énergie entre le système et le champ externe.

Oscillations dans les systèmes mésoscopiques.
Les oscillations quantiques apparaissent également dans les systèmes mésoscopiques, comme les boîtes quantiques ou les jonctions Josephson, où la cohérence quantique permet des transitions périodiques entre états. Par exemple, dans une jonction Josephson, le courant supraconducteur oscille à une fréquence liée à la différence de potentiel appliquée, révélant la nature quantique de la phase du paramètre d'ordre supraconducteur.

Oscillations de Bloch.
Enfin, les oscillations de populations dans les molécules ou les solides, telles que les oscillations de Bloch dans un réseau périodique sous l'effet d'un champ électrique constant, démontrent comment la discrétisation des niveaux d'énergie conduit à des comportements oscillatoires. 

Ondes et oscillations collectives.
Les ondes et oscillations collectives apparaissent dans de nombreux systèmes physiques lorsqu'un grand nombre de particules interagissent de manière cohérente. Contrairement aux mouvements isolés, ces phénomènes traduisent un comportement global, issu des interactions entre les constituants.

Ondes stationnaires.
Un exemple classique est celui des ondes stationnaires, qui se produisent lorsqu'une onde réfléchie interfère avec l'onde incidente dans un milieu délimité. Il en résulte des points fixes, appelés noeuds, où l'amplitude est nulle, et des ventres, où l'amplitude est maximale. Ce type de structure se rencontre aussi bien dans une corde vibrante que dans une cavité acoustique ou électromagnétique.

Oscillations de Langmuir.
Dans les plasmas, milieu composé d'électrons et d'ions, on observe des oscillations collectives particulières appelées oscillations de Langmuir. Elles proviennent du mouvement oscillatoire des électrons autour de leur position d'équilibre sous l'effet du champ électrique créé par une perturbation de charge. Ces oscillations se propagent avec une fréquence caractéristique, indépendante de l'amplitude, et traduisent la cohérence d'un grand nombre d'électrons agissant ensemble.

Phonons.
Dans les solides, les vibrations collectives des atomes du réseau cristallin sont décrites par la notion de phonons. Ces quanta d'excitation vibratoire rendent compte de la propagation des ondes élastiques dans la structure périodique. Les phonons jouent un rôle fondamental dans les propriétés thermiques, électriques et optiques des matériaux, en particulier dans la conduction thermique et la diffusion des électrons.

Oscillations forcées. Résonance

Une balançoire est un pendule que l'on entretient. Le mouvement naturel serait amorti par les frottements de l'air et au niveau de l'axe. Pour maintenir l'oscillation, une force externe périodique est appliquée au bon moment (en phase avec le mouvement naturel). La personne qui se pousse ou qui est poussée fournit une impulsion qui compense exactement les pertes d'énergie, transformant le système en un oscillateur entretenu.

Résonance.
L'aspect le plus remarquable du phénomène d'oscillations forcées est la résonance. Lorsque la fréquence de la force motrice se rapproche de la fréquence propre de l'oscillateur, on observe une augmentation considérable de l'amplitude des oscillations. Le transfert d'énergie de l'excitateur vers le système est alors maximal. Physiquement, la force excitatrice travaille toujours dans le sens du mouvement, apportant de l'énergie au système de manière optimale à chaque cycle. L'amplitude à la résonance n'est pas infinie; elle est limitée par l'amortissement. Plus les frottements sont faibles, plus l'amplitude de résonance est grande et plus la courbe de résonance est fine et pointue. Inversement, un amortissement important élargit la courbe et réduit le pic d'amplitude.

Le déphasage évolue lui aussi avec la fréquence. Pour une excitation très lente, le système suit quasi-instantanément la force : le déphasage est proche de zéro. À la résonance, le déphasage vaut π/2 radians (90°); la vitesse du système est alors en phase avec la force, ce qui confirme le transfert optimal de puissance. Pour des fréquences d'excitation très élevées, bien au-delà de la fréquence propre, le système ne parvient plus à suivre la sollicitation et oscille en opposition de phase (déphasage proche de π radians ou 180°).

Le phénomène de résonance est omniprésent dans l'ingénierie et la nature. Il est exploité de manière bénéfique dans les fours à micro-ondes, où la fréquence est réglée pour faire résonner les molécules d'eau, ou dans les instruments de musique. À l'inverse, il constitue un danger potentiel qu'il faut contrôler, comme en génie civil où les vents ou les séismes peuvent exciter les structures à leur fréquence de résonance, ou en électronique où des oscillations parasites peuvent endommager les circuits. La modélisation des oscillations forcées permet donc de concevoir des systèmes qui exploitent la résonance ou, au contraire, de les éviter en modifiant les fréquences propres ou en ajoutant de l'amortissement.